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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

membres des équations (3), nous pourrons, par l’élimination du temps, comme nous l’avons dit plus haut, abaisser encore l’ordre d’une unité, de sorte que finalement un système qui comporte $p$ degrés de liberté peut toujours être ramené à l’ordre $2p-2$.

On sait, par exemple, que s’il n’y a qu’un seul degré de liberté, le système peut être ramené à l’ordre 0, c’est-à-dire intégré complètement.

Exemples d’équations canoniques.

2.Le cas le plus simple des équations de la Dynamique est celui où l’on étudie le mouvement de $q$ points matériels libres dans l’espace. Soient $m_{1}$ la masse du premier de ces points, $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ ses coordonnées cartésiennes ; soient de même $m_{2}$ la masse du second de ces points, $x_{4},\,x_{5},\,x_{6}$ ses coordonnées, et ainsi de suite ; soient enfin $m_{q}$ la masse du q^ième point, $x_{3q-2},\,x_{3q-1}$ et $x_{3q}$ ses coordonnées.

Projetons la quantité de mouvement du point $m_{1}$ sur les trois axes : soient $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$ les trois projections ; soient de même $y_{4},\,y_{5},\,y_{6}$ les projections de la quantité de mouvement du point $m_{1},$ etc. ; soient enfin, $y_{3q-2},\,y_{3q-1},\,y_{3q}$ les projections de la quantité de mouvement du point $m_{q}.$

Soient $\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\mathrm {F} _{3}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{1}$ ; soient $\mathrm {F} _{4},\,\mathrm {F} _{5},\,\mathrm {F} _{6}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{2}$, etc. ; soient enfin $\mathrm {F} _{3q-2},\,\mathrm {F} _{3q-1},\,\mathrm {F} _{3q}$ les composantes de la force qui agit sur $m_{q}.$

Nous supposerons que les composantes $\mathrm {F}$ ne dépendent que des $3q$ coordonnées $x.$ S’il y a conservation de l’énergie, il existera une fonction $\mathrm {V}$ des coordonnées $x,$ dite fonction des forces et telle que

$\mathrm {F} _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\cdot$

La demi-force vive $\mathrm {T}$ aura pour expression

$\mathrm {T} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2m_{2}}}+\dots +{\frac {y_{3q-2}^{2}+y_{3q-1}^{2}+y_{3q}^{2}}{2m_{q}}},$

et l’équation des forces vives pourra s’écrire

$\mathrm {T} -\mathrm {V} =\mathrm {const.}$