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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Si $\mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.}$ est une autre intégrale et que l’on appelle $\mathrm {S} _{2}$ la solution

${\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{i}}},\end{aligned}}$

il viendra

$(\mathrm {S} _{1},\mathrm {S} _{2})=[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}].$

Supposons donc que nos équations (1) admettent $p+1$ intégrales

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \ldots ,\mathrm {F} _{p}=\mathrm {const.} ,$

et soient

$\mathrm {S} ,\quad \mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{p}$

les $p+1$ solutions des équations (2) qui correspondent à ces $p+1$ intégrales.

De deux choses l’une :

Ou bien ces $p+1$ solutions seront indépendantes ;

Ou bien tous les déterminants fonctionnels de $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {F} _{p}$ par rapport à $p+1$ variables choisies parmi les $x_{i}$ et les $y_{i}$ seront nuls à la fois en tous les points de la solution périodique.

Supposons qu’il n’en soit pas ainsi et que les solutions $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {S} _{1},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p}$ soient indépendantes.

Nous aurons dans tous les cas

$[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{i}]=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,p),$

d’où

$(\mathrm {S} ,\mathrm {S} _{i})=0.$

Je suppose que l’on ait en outre

$[\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}]=0\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,p),$

On aura également

$(\mathrm {S} _{i},\mathrm {S} _{k})=0.$

Je choisirai pour les $2n$ solutions fondamentales les $p+1$ solutions $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p}$ et $2n-p-1$ autres solutions de première ou de deuxième espèce.

Parmi les solutions fondamentales, il y en aura certainement $p+1$ qui (si je les appelle $\mathrm {S} '$) ne satisferont pas à la fois aux relations

$(\mathrm {S} ,\mathrm {S} ')=(\mathrm {S} _{1},\mathrm {S} ')=\ldots =(\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} ')=0,$