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CHAPITRE IV.

Cette expression est de la forme suivante : une exponentielle $e^{(\alpha +\beta )t}$ multipliée par un polynôme entier en $t$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$

Mais cette expression doit se réduire à une constante. Il est clair que cela ne peut avoir lieu que de deux manières :

Ou bien si cette constante est nulle ;

Ou bien si $\alpha +\beta =0.$

On peut en conclure que, s’il y a $q$ exposants caractéristiques égaux à $+\alpha ,$ il y en aura $q$ égaux à $-\alpha ,$ ce qui confirme le résultat obtenu au n^o 69. Si, en effet, il y a $q$ exposants égaux à $+\alpha ,$ il y aura $q$ solutions de première ou de deuxième espèce linéairement indépendantes et admettant pour exposant $\alpha .$

Soient $\mathrm {S} _{1},\,\mathrm {S} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {S} _{q}$ ces $q$ solutions.

Il ne pourra pas y avoir plus de $2n-q$ solutions $\mathrm {S} '$ indépendantes qui satisferont aux relations

$\left(\mathrm {S} _{1},\,\mathrm {S} '\right)=\left(\mathrm {S} _{2},\,\mathrm {S} '\right)=\ldots =\left(\mathrm {S} _{q},\,\mathrm {S} '\right)=0.$

Par conséquent, parmi les solutions fondamentales (qui sont toutes de première ou de deuxième espèce), il y en aura $q$ pour lesquelles l’une des constantes $(\mathrm {S} _{i},\mathrm {S} ')$ au moins ne sera pas nulle, et, par conséquent, pour lesquelles l’exposant $\beta$ sera égal à $-\alpha .$

71.Supposons maintenant que les équations (1) admettent une intégrale

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.}$

D’après ce que nous avons vu au n^o 54, les équations (2) admettront comme solution particulière

${\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Appelons $\mathrm {S} _{1}$ cette solution, les fonctions ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}$ (où on devra remplacer $x_{i}$ et $y_{i}$ par leurs valeurs correspondant à la solution périodique génératrice) seront des fonctions périodiques de $t.$ Donc la solution $\mathrm {S} _{1}$ est de première espèce et son exposant caractéristique est nul.