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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

nous verrons que l’on peut tirer de l’équation

$\mathrm {G} _{1}(\varepsilon ,{\sqrt {\mu }})=0,$

$\varepsilon$ (et par conséquent $\alpha$) en série ordonnée suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Nous sommes donc amenés à discuter l’équation

$\mathrm {G} _{1}(\varepsilon ,0)=0.$

Si nous changeons $\varepsilon$ en $-\varepsilon ,$ cette équation ne change pas.

En effet, si nous multiplions les $n$ premières lignes par $-1,$ ainsi que les $n$ dernières colonnes, le déterminant ne changera pas, et tous les éléments du déterminant ne changeront pas non plus, à l’exception des éléments de la diagonale principale qui étaient égaux à $-\varepsilon \mathrm {T}$ et qui deviendraient égaux à $+\varepsilon \mathrm {T} .$

Je dis que l’équation a deux racines nulles. Si en effet nous faisons $\varepsilon =0,$ le déterminant devient égal au produit de deux autres, à savoir :

1^o Le hessien de $-\mathrm {TF} _{0}$ par rapport aux $x_{i}\,;$

2^o Le hessien de $\mathrm {TR}$ par rapport aux $\varpi _{i}.$

Ce dernier hessien est nul ; car on a, d’après la définition de $\mathrm {R} ,$

$n_{1}^{0}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{1}}}+n_{2}^{0}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{2}}}+\ldots +n_{n}^{0}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{n}}}=0.$

Donc l’équation est satisfaite pour $\varepsilon =0$ et, comme ses racines sont deux à deux égales et de signe contraire, elle doit avoir deux racines nulles.

Pour qu’il y ait plus de deux racines nulles, il faudrait que le coefficient de $\varepsilon ^{2}$ dans $\mathrm {G} _{1}$ fût nul. Or ce coefficient peut se calculer comme il suit :

Multiplions la première ligne de $\mathrm {G} _{1}$ par $n_{1}^{0}$ et ajoutons-y la seconde multipliée par $n_{2}^{0},$ la troisième par $n_{3}^{0},$ $\ldots ,$ la $n$^ième par $n_{n}^{0}.$ Tous les éléments de $\mathrm {G} _{1}$ demeurent inaltérés, à l’exception de ceux de la première ligne, qui deviennent

$-n_{1}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad -n_{2}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad -n_{3}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad -n_{n}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad 0,\quad 0,\quad \ldots ,\quad 0.$

Multiplions maintenant la $(n+1)$^ième colonne par $n_{1}^{0}$ et ajoutons-y la $(n+2)$^ième multipliée par $n_{2}^{0},$ la $(n+3)$^ième multipliée par $n_{3}^{0},$ $\ldots ,$ la $2n$^ième