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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
nous verrons que l’on peut tirer de l’équation
(et par conséquent ) en série ordonnée suivant les puissances
de
Nous sommes donc amenés à discuter l’équation
Si nous changeons en cette équation ne change pas.
En effet, si nous multiplions les premières lignes par
ainsi que les dernières colonnes, le déterminant ne changera
pas, et tous les éléments du déterminant ne changeront pas non
plus, à l’exception des éléments de la diagonale principale qui
étaient égaux à et qui deviendraient égaux à
Je dis que l’équation a deux racines nulles. Si en effet nous
faisons le déterminant devient égal au produit de deux
autres, à savoir :
1o Le hessien de par rapport aux
2o Le hessien de par rapport aux
Ce dernier hessien est nul ; car on a, d’après la définition de
Donc l’équation est satisfaite pour et, comme ses racines
sont deux à deux égales et de signe contraire, elle doit avoir deux
racines nulles.
Pour qu’il y ait plus de deux racines nulles, il faudrait que le
coefficient de dans fût nul. Or ce coefficient peut se calculer
comme il suit :
Multiplions la première ligne de par et ajoutons-y la seconde multipliée par
la troisième par la ième par
Tous les éléments de demeurent inaltérés, à l’exception de ceux
de la première ligne, qui deviennent
Multiplions maintenant la ième colonne par et ajoutons-y
la ième multipliée par
la ième multipliée par
la ième