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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

animés d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’origine O. Soit $n$ la vitesse angulaire de ce mouvement de rotation. Soit P un point mobile se mouvant dans ce même plan, dont les coordonnées, par rapport à ces deux axes, s’appelleront $\xi$ et $\eta ,$ et dont la masse sera prise pour unité.

Soit $\mathrm {V}$ la fonction des forces dépendant seulement de $\xi$ et de $\eta ,$ de telle façon que les projections sur Oξ et Oη de la force qui agit sur le point P soient respectivement ${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}$ et ${\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\cdot$

Les équations du mouvement relatif du point P par rapport aux axes mobiles 0ξ et 0η s’écriront

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta ,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on déduit l’intégrale suivante, dite de Jacobi,

${\frac {1}{2}}\left[\left({\dfrac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {V} -{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=\mathrm {const.} ,$

qui n’est autre chose que l’intégrale des forces vives dans le mouvement relatif.

Je dis que ces équations peuvent être ramenées à la forme canonique, le nombre des degrés de liberté étant égal à 2.

Posons, en effet,

${\begin{array}{c}{\begin{array}{rcl}\xi =x_{1}&\quad &\eta =x_{2}\\{\dfrac {d\xi }{dt}}-n\eta =y_{1}&\quad &{\dfrac {d\eta }{dt}}+n\xi =y_{2},\\\end{array}}\\\mathrm {F} ={\dfrac {1}{2}}(y_{1}+nx_{2})^{2}+{\dfrac {1}{2}}(y_{2}-nx_{1})^{2}-\mathrm {V} -{\dfrac {n^{2}}{2\,\,}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}),\end{array}}$

les équations (2) deviendront

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},\quad {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},\quad {\frac {dy_{1}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\quad {\frac {dy_{2}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

C. Q. F. D.

Un des cas particuliers du Problème des trois Corps rentre dans la question que nous venons de traiter.

Supposons que l’une des trois masses soit infiniment petite, de telle sorte que le mouvement des deux autres masses n’étant pas