Si je pose
les équations du mouvement s’écriront
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Ainsi les équations du mouvement de points matériels libres comportent degrés de liberté, toutes les fois que les forces ne dépendent que des positions de ces points dans l’espace, et qu’il y a conservation de l’énergie. En particulier, le Problème des trois Corps comportera 9 degrés de liberté. Nous verrons dans la suite que ce nombre peut être considérablement abaissé.
Si nos points matériels se meuvent tous dans un même plan, la position de chacun de ces points sera définie non plus par trois coordonnées, mais par deux seulement. Le nombre des degrés de liberté sera par conséquent réduit à
Ainsi, lorsque les orbites des trois corps seront planes et situées toutes trois dans un même plan, le Problème des trois Corps (que nous appellerons alors Problème des trois Corps dans le plan) ne comportera plus que 6 degrés de liberté seulement.
Le cas où il n’y a qu’un degré de liberté étant immédiatement intégrable, nous nous attacherons surtout au cas qui se présente immédiatement après, c’est-à-dire au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté. La plupart des résultats qui suivront ne s’appliqueront qu’à ce cas relativement simple.
Dans beaucoup de problèmes mécaniques, le nombre des degrés de liberté peut en effet être réduit à 2. C’est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie le mouvement d’un point matériel libre dans un plan ou, plus généralement, le mouvement d’un point matériel assujetti à rester sur une surface, toutes les fois que la force ne dépend que de la position de ce point. Nous citerons entre autres le problème célèbre du corps mobile attiré par deux centres fixes, lorsque la vitesse initiale du point mobile est dans le plan des trois corps.
Mais il est un cas un peu plus compliqué et dont l’importance est plus grande pour ce qui va suivre.
Soient dans un plan deux axes rectangulaires mobiles Oξ et Oη
