Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/235

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

223

EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

stante ; mais comme $\mathrm {T} _{i}^{1}$ doit être une fonction périodique, cette constante doit être nulle, de sorte qu’on a

(9)

\alpha _{1}\eta _{i}^{0}=\mathrm {C} _{i1}^{0}\mathrm {S} _{1}^{1}+\mathrm {C} _{i2}^{0}\mathrm {S} _{2}^{1}+\mathrm {C} _{i3}^{0}\mathrm {S} _{3}^{1},

ce qui établit trois relations entre les trois constantes $\eta _{i}^{1},$ les trois constantes $\mathrm {S} _{i}^{1}$ et la quantité inconnue $\alpha _{1}.$

De son côté, l’équation (8) s’écrira

{\frac {d\mathrm {S} _{i}^{2}}{dt}}+\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{1}={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {B} _{ik}^{2}\eta _{k}^{0}.

Les $\mathrm {B} _{ik}^{2}$ sont des fonctions périodiques de $t\,;$ développons-les d’après la formule de Fourier et soit $b_{ik}$ le terme tout connu de $\mathrm {B} _{ik}^{2}.$ Il viendra

\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{1}={\textstyle \sum }_{k}b_{ik}\eta _{i}^{0}

ou, en tenant compte des équations (9),

(10)

\alpha _{1}^{2}\mathrm {S} _{i}^{1}=\sum _{k=1}^{k=3}b_{ik}\left(\mathrm {C} _{k1}^{0}\mathrm {S} _{1}^{1}+\mathrm {C} _{k2}^{0}\mathrm {S} _{2}^{1}+\mathrm {C} _{k2}^{0}\mathrm {S} _{3}^{1}\right).

En faisant dans cette équation (10) $i=1,2$ et $3,$ nous aurons trois relations linéaires et homogènes entre les trois constantes $\mathrm {S} _{i}^{1}.$ En éliminant ces trois constantes, nous aurons alors une équation du troisième degré qui déterminera $\alpha _{1}^{2}.$