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CHAPITRE IV.

On observera que

(6)

$\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {A} _{ik}^{0}=\mathrm {B} _{ik}^{0}=\mathrm {D} _{ik}^{0},\\[1ex]\mathrm {C} _{ik}^{\,m}=\mathrm {C} _{ki}^{m},\qquad \mathrm {B} _{ik}^{\,m}=\mathrm {B} _{ki}^{m},\qquad \mathrm {A} _{ik}^{\,m}=-\mathrm {D} _{ki}^{m}.\end{array}}\right.$

Nous substituons dans les équations (2) les valeurs (4) et (5) à la place des $\xi ,$ des $\eta ,$ de leurs dérivées et des dérivées secondes de $\mathrm {F} .$ Dans les expressions (4) je suppose que $\alpha$ soit développé suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ sauf lorsque cette quantité $\alpha$ entre dans un facteur exponentiel $e^{\alpha t}.$

Nous identifierons ensuite en égalant les puissances semblables de ${\sqrt {\mu }}$ et nous obtiendrons ainsi une série d’équations qui permettent de déterminer successivement

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \alpha _{3},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{i}^{0},\quad \mathrm {S} _{i}^{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {T} _{i}^{0},\quad \mathrm {T} _{i}^{1},\quad \ldots .$

Je n’écrirai que les premières de ces équations obtenues en égalant successivement les termes tout connus, les termes en ${\sqrt {\mu }},$ les termes en $\mu ,\,\ldots .$ Je fais d’ailleurs disparaître le facteur $e^{\alpha t}$ qui se trouve partout.

Égalons d’abord les termes en ${\sqrt {\mu }}\,;$ il vient

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{i}^{1}}{dt}}+\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{0}&={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {A} _{ik}^{0}\mathrm {S} _{k}^{1}+{\textstyle \sum }_{k}\mathrm {B} _{ik}^{0}\mathrm {T} _{k}^{1},\\{\frac {d\mathrm {T} _{i}^{1}}{dt}}+\alpha _{1}\mathrm {T} _{i}^{0}&={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {C} _{ik}^{0}\mathrm {S} _{k}^{1}+{\textstyle \sum }_{k}\mathrm {D} _{ik}^{0}\mathrm {T} _{k}^{1}.\end{aligned}}\right.$

Égalons les termes en $\mu ,$ il vient

(8)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{i}^{2}}{dt}}&+\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{1}+\alpha _{2}\mathrm {S} _{i}^{0}\\=&{\textstyle \sum _{k}}\left(\mathrm {A} _{ik}^{0}\mathrm {S} _{k}^{2}+\mathrm {A} _{ik}^{2}\mathrm {S} _{k}^{0}+\mathrm {B} _{ik}^{0}\mathrm {T} _{k}^{2}+\mathrm {B} _{ik}^{2}\mathrm {T} _{k}^{0}\right)\quad (i=1,\,2,\,3),\\\end{aligned}}\right.$

outre trois équations analogues donnant les ${\frac {d\mathrm {T} _{i}^{2}}{dt}}\cdot$

Si l’on tient compte maintenant des relations (6), les équations (7) deviennent

${\frac {d\mathrm {S} _{i}^{1}}{dt}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {T} _{i}^{1}}{dt}}+\alpha _{1}\eta _{i}^{0}={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {C} _{ik}^{0}\mathrm {S} _{k}^{1}.$

La première de ces équations montre que $\mathrm {S} _{1}^{1},$ $\mathrm {S} _{2}^{1}$ et $\mathrm {S} _{3}^{1},$ sont des constantes. Quant à la seconde, elle montre que ${\frac {d\mathrm {T} _{i}^{1}}{dt}}$ est une con-