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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Je dis que les fonctions sont
périodiques en de période En effet, et
sont périodiques de période en
cette période étant indépendante de les dérivées
(5)
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seront également périodiques en Mais, pour si
donc on fait après la différentiation ces quatre dérivées (5),
c’est-à-dire les quatre fonctions
seront périodiques en
C.Q.F.D.
Ces quatre fonctions seront, comme et dont elles sont les
dérivées, développables suivant les puissances croissantes et positives
de (je rappelle que et dans le numéro
précédent, étaient développables suivant les puissances non de mais de
).
Pour se réduit à une constante donc
s’annule. Donc est divisible par
de même que dans le numéro précédent était divisible par
Au contraire n’est pas divisible par
Dans un Mémoire que j’ai publié dans les Acta mathematica,
t. XIII, p. 157, je suis amené à considérer des équations analogues
aux équations (2) et deux solutions particulières de ces équations
J’appelle un des exposants caractéristiques, de telle sorte que
est développable suivant les puissances impaires de et que
est lui-même développable suivant les puissances de et est divisible par
Je suppose que l’on remplace par cette valeur, de sorte que
toutes nos fonctions se trouvent développées suivant les puissances
de J’annonce ensuite que et sont divisibles par
En effet comme nous venons de le voir, est divisible par
et par
D’autre part, nous avons manifestement