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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Je dis que les fonctions
sont
périodiques en
de période
En effet,
et
sont périodiques de période
en
cette période étant indépendante de
les dérivées
(5)
|
|
|
seront également périodiques en
Mais, pour
si
donc on fait après la différentiation
ces quatre dérivées (5),
c’est-à-dire les quatre fonctions
seront périodiques en
C.Q.F.D.
Ces quatre fonctions seront, comme
et
dont elles sont les
dérivées, développables suivant les puissances croissantes et positives
de
(je rappelle que
et
dans le numéro
précédent, étaient développables suivant les puissances non de
mais de
).
Pour
se réduit à une constante
donc
s’annule. Donc
est divisible par
de même que dans le numéro précédent
était divisible par
Au contraire
n’est pas divisible par
Dans un Mémoire que j’ai publié dans les Acta mathematica,
t. XIII, p. 157, je suis amené à considérer des équations analogues
aux équations (2) et deux solutions particulières de ces équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} ''_{i},\\\xi _{i}&=\mathrm {S} '''_{i}+\alpha t\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} '''_{i}+\alpha t\mathrm {T} ''_{i}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bca7a07389c2377adfb5f724eda6d0e91d53c7)
J’appelle
un des exposants caractéristiques, de telle sorte que
est développable suivant les puissances impaires de
et que
est lui-même développable suivant les puissances de
et est divisible par ![{\displaystyle \alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74634cf2918e42f7ff1500ba66072c926c24e23b)
Je suppose que l’on remplace
par cette valeur, de sorte que
toutes nos fonctions se trouvent développées suivant les puissances
de
J’annonce ensuite que
et
sont divisibles par
En effet
comme nous venons de le voir, est divisible par
et
par
D’autre part, nous avons manifestement
![{\displaystyle \mathrm {S} ''_{i}=\alpha \mathrm {S} _{i}^{\star },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9776ca8c3d467fe7e874464a74e9e8b7586809e5)