Si maintenant nous posons
l’équation (3) pourra être remplacée par les équations canoniques (3) du numéro précédent avec 2 degrés de liberté seulement.
C. Q. F. D.
Je citerai encore un dernier exemple. Considérons un corps solide pesant, suspendu à un point fixe, et étudions les oscillations de ce corps. Pour définir complètement la position de ce corps, il faut se donner trois conditions ; il faut connaître en effet les trois angles d’Euler formés par un système d’axes invariablement liés au corps avec un système d’axes fixes.
Le problème comportera donc 3 degrés de liberté ; mais nous verrons plus loin que ce nombre peut être réduit à 2.
J’en ai dit assez pour faire voir combien de problèmes mécaniques se ramènent à l’intégration d’un système canonique comportant 2 degrés de liberté et pour faire comprendre l’importance de ces systèmes ; il est donc inutile de multiplier davantage les exemples.
Premier théorème de Jacobi.
3.Jacobi a montré que l’intégration des équations canoniques
(1) |
se ramène à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles
(2) |
où est une constante arbitraire et où sont supposées représenter les dérivées partielles de la fonction inconnue.
Soit, en effet,
une solution de l’équation (2) contenant, outre la constante ,