Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/26

14

CHAPITRE I.

$p-1$ constantes d’intégration

$h_{2},\;h_{3},\;\dots ,\;h_{p},$

de telle façon que l’on ait, quels que soient les $h$,

$\mathrm {F} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{1}}},{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{2}}},\dots ,{\frac {d{\mathrm {S} }}{dx_{p}}}\right)=h_{1}.$

Jacobi a démontré que l’intégrale générale des équations (1) peut s’écrire

(3)

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}=y_{i}&(i=1,\,2,\,\dots ,\,p),\\{\dfrac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}=h'_{i}&(i=2,\,3,\,\dots ,\,p),\\{\dfrac {d\mathrm {S} }{dh_{1}}}=t+h'_{1}.\end{array}}\right.$

Les $2p$ constantes d’intégration sont alors

${\begin{array}{llll}h_{1},&h_{2},&\dots ,&h_{p},\\h'_{1},&h'_{2},&\dots ,&h'_{p}.\\\end{array}}$

Un autre théorème dont nous aurons à faire usage est celui de Poisson.

Soient $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ deux fonctions quelconques des $x$ et des $y.$ Convenons d’écrire

$\left[\mathrm {U} ,\mathrm {V} \right]=\sum \limits _{i=1}^{i=p}\left({\frac {d\mathrm {U} }{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{i}}}-{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\right).$

Soient maintenant $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ deux intégrales des équations (1).

On voit immédiatement qu’on exprimera que $\mathrm {F} _{1}$ est une intégrale des équations (1) en écrivant

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=0\,;$

$\mathrm {F} _{2}$ étant aussi une intégrale, on aura également

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=0.$

Poisson a démontré que l’expression $\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}\right]$ est également une intégrale des équations (1). C’est ainsi que, dans le problème des $n$ corps, si l’on suppose que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ soient les premiers membres