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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
Soient maintenant un certain nombre d’entiers.
Imaginons que l’on donne aux des valeurs telles que
(10)
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On pourra trouver une infinité de systèmes d’entiers
tels que
Pour chacun de ces systèmes d’entiers, on devra avoir
et, par conséquent,
La comparaison de ces deux équations montre que l’on doit avoir
c’est-à-dire que le jacobien de et de par rapport à deux
quelconques des quantités doit être nul.
Cela doit avoir lieu pour toutes les valeurs des qui satisfont
à des relations de la forme (10), c’est-à-dire pour toutes les
valeurs telles que les soient commensurables entre eux. Dans
un domaine quelconque, quelque petit qu’il soit, il y a donc une
infinité de systèmes de valeurs des pour lesquels ce jacobien
s’annule, et, comme ce jacobien est une fonction continue, il doit
s’annuler identiquement.
Dire que tous les jacobiens de et de sont nuls, c’est dire
que est fonction de Or cela est contraire à l’hypothèse que
nous avons faite à la fin du numéro précédent.
Nous devons donc conclure que les équations (1) n’admettent
pas d’autre intégrale uniforme que
C.Q.F.D.