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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

Soient maintenant $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}$ un certain nombre d’entiers. Imaginons que l’on donne aux $x$ des valeurs telles que

(10)

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{1}\,dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{2}\,dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{n}\,dx_{n}}}\cdot$

On pourra trouver une infinité de systèmes d’entiers $m_{1},$ $m_{2},$ $\ldots ,$ $m_{n},$ tels que

$m_{1}p_{1}+m_{2}p_{2}+\ldots +m_{n}p_{n}=0.$

Pour chacun de ces systèmes d’entiers, on devra avoir

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0$

et, par conséquent,

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=0.$

La comparaison de ces deux équations montre que l’on doit avoir

${\frac {\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}{\dfrac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}}={\frac {\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}{\dfrac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}}=\ldots ={\frac {\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}}}{\dfrac {d\Phi _{0}}{dx_{n}}}},$

c’est-à-dire que le jacobien de $\mathrm {F} _{0}$ et de $\Phi _{0}$ par rapport à deux quelconques des quantités $x$ doit être nul.

Cela doit avoir lieu pour toutes les valeurs des $x$ qui satisfont à des relations de la forme (10), c’est-à-dire pour toutes les valeurs telles que les ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}$ soient commensurables entre eux. Dans un domaine quelconque, quelque petit qu’il soit, il y a donc une infinité de systèmes de valeurs des $x$ pour lesquels ce jacobien s’annule, et, comme ce jacobien est une fonction continue, il doit s’annuler identiquement.

Dire que tous les jacobiens de $\mathrm {F} _{0}$ et de $\Phi _{0}$ sont nuls, c’est dire que $\Phi _{0}$ est fonction de $\mathrm {F} _{0}.$ Or cela est contraire à l’hypothèse que nous avons faite à la fin du numéro précédent.

Nous devons donc conclure que les équations (1) n’admettent pas d’autre intégrale uniforme que $\mathrm {F} =\mathrm {C} .$ C.Q.F.D.