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CHAPITRE V.

Pour abréger, je désignerai, comme plus haut, cette exponentielle par $\zeta$ et j’écrirai

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}&=\Sigma \mathrm {B} \zeta ,&\Phi _{1}&=\Sigma \mathrm {C} \zeta ,\end{aligned}}$

les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {C}$ étant des coefficients dépendant des $x$ seulement.

On aura alors

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}&={\sqrt {-1}}\,\Sigma \mathrm {B} m_{i}\zeta ,&{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}&={\sqrt {-1}}\,\Sigma \mathrm {B} m_{i}\zeta ,\end{aligned}}$

de sorte que l’équation (3), divisée par ${\sqrt {-1}},$ s’écrira

$-\Sigma \mathrm {B} \zeta \left({\textstyle \sum _{i}}m_{i}{\dfrac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}\right)+\Sigma \mathrm {C} \zeta \left({\textstyle \sum _{i}}m_{i}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\right)=0.$

Comme cette équation est une identité, nous devrons avoir pour tous les systèmes de valeurs entières des $m_{i}$

(6)

$\mathrm {B} {\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=\mathrm {C} {\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot$

La relation (6) doit avoir lieu pour toutes les valeurs des $x.$ Donnons alors aux $x$ des valeurs telles que

(7)

${\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0\,:$

le second membre de (6) s’annule. Nous devrons donc avoir, toutes les fois que les $x$ satisferont à l’équation (7), ou bien

(8)

$\mathrm {B} =0$

ou bien

(9)

${\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}=0.$

La fonction $\mathrm {F} _{1}$ est une des données de la question et il en est de même, par conséquent, des coefficients $\mathrm {B} .$ Il est donc aisé de reconnaître si l’égalité (7) entraîne l’égalité (8). En général, on constatera qu’il n’en est pas ainsi et on devra conclure que l’égalité (9) est une conséquence nécessaire de l’égalité (7).