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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

indice) appartiennent à une même classe et une relation (12 bis) s’écrit simplement

$m{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\mathrm {L} }}=0,$

ou $\mathrm {L} =\infty .$ Il ne pourrait donc y avoir de difficulté que pour les valeurs infinies de $\mathrm {L} .$ Si donc nous reprenons le langage abrégé des numéros précédents, et si l’on appelle D un domaine quelconque formé par une infinité de systèmes de valeurs de $\mathrm {L} ,$ $\Pi$ et $\varpi ,$ mais tel que, pour tous ces systèmes, la valeur de $\mathrm {L}$ soit finie, la classe dont font partie tous ces coefficients $\mathrm {B}$ n’appartiendra pas au domaine D ; rien ne s’opposera donc à l’existence d’une intégrale qui reste uniforme dans ce domaine D.

Passons à un autre problème ; celui du mouvement d’un corps pesant autour d’un point fixe.

Ce problème a été intégré dans trois cas particuliers différents par Euler, par Lagrange et par M^me de Kowalevski (cf. Acta mathematica, 12). Je crois savoir que M^me de Kowalevski a découvert encore de nouveaux cas d’intégrabilité.

On peut donc se demander si, dans ce problème, les considérations exposées dans ce Chapitre s’opposent à l’existence d’une intégrale uniforme autre que celles des forces vives et des aires.

Je supposerai que le produit du poids du corps par la distance du centre de gravité au point de suspension est très petite, de telle façon que l’on puisse écrire les équations du problème sous la forme

${\begin{array}{c}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\qquad {\dfrac {dy_{i}}{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\\[1ex]\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}.\end{array}}$

Les $x_{i}$ et les $y_{i}$ forment trois couples de variables conjuguées ; $\mathrm {F}$ désigne l’énergie totale du système ; $\mathrm {F} _{0}$ est sa demi-force vive ; $\mu$ est une quantité très petite et $\mu \mathrm {F} _{1}$ représente le produit du poids du corps par la distance du centre de gravité à un plan horizontal passant par le point de suspension.

Dans le cas où $\mu$ est nul (c’est-à-dire où le centre de gravité coïncide avec le point de suspension), le mouvement du corps solide se réduit à un mouvement à la Poinsot. Comme nous supposons $\mu$ très petit, c’est ce mouvement à la Poinsot qui va nous