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CHAPITRE V.
servir de première approximation, à la façon du mouvement képlérien
dans l’étude du problème des trois Corps par les approximations
successives.
Je dois, avant d’aller plus loin, définir deux quantités
et
que j’appellerai les deux moyens mouvements et qui joueront un
rôle important dans ce qui va suivre. Dans le mouvement à la
Poinsot, l’ellipsoïde d’inertie roule sur un plan fixe : soit P le pied
de la perpendiculaire abaissée du point de suspension sur ce plan
fixe et Q le point de contact. Ce point de contact appartient à
une courbe fixe par rapport à l’ellipsoïde et appelée polhodie. Au
bout d’un certain temps
le même point de la polhodie reviendra
en Q′ en contact avec le plan fixe. Soit
l’angle QPQ′. Nous
poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }},&n'&={\frac {\alpha }{\mathrm {T} }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ac7a0146907f272452326afc960afa60109f41)
et
et
seront les deux moyens mouvements.
Cela posé, les équations du mouvement à la Poinsot pourront s’écrire de la manière suivante.
Soient
et
les coordonnées d’un point quelconque du corps
solide en prenant l’origine des coordonnées au point de suspension
et l’axe des
vertical.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&=nt+\varepsilon ,&l'&=n't+\varepsilon ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b763253e5d834f9c18758bb491ecc975b41c8d7)
et
étant deux constantes d’intégration.
Soient
et
trois fonctions de
et
périodiques de période
en
(ces fonctions, comme on le sait, dépendent des
fonctions elliptiques) ; soient
et
deux nouvelles constantes
d’intégration ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta \,(\xi \cos l'-\eta \sin l')-\sin \theta \cos \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')+\psi \sin \theta \sin \varphi ,\\y&=\sin \theta \,(\xi \cos l'-\eta \sin l')+\cos \theta \cos \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')-\psi \cos \theta \sin \varphi ,\\z&=\sin \varphi (\xi \sin l'+\eta \cos l')+\psi \cos \varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa8e12dc313ce810ed14a734810e1043d6d8bf8)
Si l’on suppose que le point
est le centre de gravité
du corps solide,
se réduit à un facteur constant près à
de
sorte que nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,1}e^{{\sqrt {-1}}(ml+l')}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,0}e^{{\sqrt {-1}}(ml)}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m,-1}e^{{\sqrt {-1}}(ml-l')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4647b5e8a391e98a2450047dcb378a55b0b29906)
les coefficients
dépendant seulement de
de
et de ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)