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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

tous les termes de son développement seront alors au moins de degré

$|p+q|\;(|\lambda _{1}|+|\lambda _{2}|+\ldots +|\lambda _{8}|+|\lambda _{9}|)-4.$

Je pose cette quantité égale à $\alpha .$

Il y a exception dans le cas où $\lambda _{0}=0\,;$ tous les termes sont alors au moins de degré

$|p+q|\;(|\lambda _{1}|+|\lambda _{2}|+\ldots +|\lambda _{8}|)-2$

Je poserai encore cette quantité égale à $\alpha .$

Le déterminant $\Delta$ devant être identiquement nul, l’ensemble des termes de degré $\alpha$ devra aussi être identiquement nul. Or on obtiendra ces termes de degré $\alpha ,$ en remplaçant dans le déterminant $\Delta$ chacun des coefficients $\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}$ par son terme principal $\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}^{0}$ (ou $\mathrm {C} _{0\,0}^{1}$ si $\lambda =0$).

Le déterminant $\Delta _{0}$ ainsi obtenu devra donc être identiquement nul ; or que signifie cette condition

$\Delta _{0}=0\,?$

Formons les expressions

(14 bis)

$\left(\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}^{0}\right)^{\lambda '}\left(\mathrm {C} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{0}\right)^{-\lambda }\quad (\lambda ,\lambda '=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ).$

obtenues en remplaçant, dans les expressions (14), chacun des coefficients $\mathrm {C}$ par son terme principal.

Si, dans l’expression (14), nous faisons $\lambda =0,$ cette expression se réduit à

$\mathrm {C} _{0\,0},$

dont le terme principal est $\mathrm {C} _{0\,0}^{1}.$

Nous adjoindrons au tableau des expressions (14 bis) l’expression $\mathrm {C} _{0\,0}^{1}$ qui est un polynôme entier du second degré par rapport aux $e$ et aux $i.$

Eh bien, la condition $\Delta _{0}=0$ signifie qu’il y a une relation entre huit quelconques des expressions (14 bis) contenues dans le tableau ainsi complété.

Ainsi, pour qu’il y ait une intégrale uniforme, il faut qu’il y ait une relation entre huit quelconques de ces expressions (14 bis).