Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/281

---

CHAPITRE VI.

DÉVELOPPEMENT APPROCHÉ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

---

Énoncé du problème.

90.J’ai dit que M. Flamme avait donné une remarquable expression approchée des termes de rang élevé de la fonction perturbatrice. Il y est parvenu en appliquant à ce problème la méthode de M. Darboux qui permet de trouver les coefficients de rang élevé dans la série de Fourier ou dans celle de Taylor, quand on connaît les propriétés analytiques de la fonction représentée par ces séries.

Mais la méthode de M. Darboux n’est applicable qu’aux fonctions d’une seule variable, tandis que la fonction perturbatrice doit être développée suivant les sinus et cosinus des multiples des deux anomalies moyennes. Voici donc quel est le détour employé par M. Flamme : il obtient d’abord, par les procédés ordinaires, un premier développement de la fonction perturbatrice dont les termes sont de la forme

$\Lambda \rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)},\quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')},$

$\rho$ rayon vecteur de la première planète, $v$ anomalie vraie, $u$ anomalie excentrique ; $\rho ',$ $v'$ et $u'$ quantités analogues pour la seconde planète.

Alors les deux facteurs

$\rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)}\quad \mathrm {et} \quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')}$

ne dépendent plus que d’une seule variable, à savoir : le premier de l’anomalie moyenne $\zeta$ de la première planète, le second de l’autre anomalie moyenne $\zeta '.$ M. Flamme applique à chacun de ces deux facteurs la méthode de M. Darboux.

Cet artifice ne saurait nous suffire pour notre objet ; il nous faut, au contraire, appliquer directement à la fonction perturbatrice la