271
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTUBATRICE.
Si l’on pose alors
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44689de573892b5cdc5824fee71a1adba3c63ab9)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {\beta '_{1}m_{1}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta _{2}m_{1}}{\mathrm {AB} }},\\\mathrm {F} _{1}&=-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}}+{\frac {\beta \beta '\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2976cef96520bd9d9f23858f50d3b1c9e72cda79)
Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice
Tout d’abord Le premier terme
![{\displaystyle -{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c57cb863ad11b76f1b07725fb62f2f05f69989)
ne dépend que de l’anomalie moyenne
et nullement de l’anomalie
moyenne
il ne pourra donc donner dans le développement des
termes en
![{\displaystyle \sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a38256c88be4b36afe1998336b0776cd868702)
où ![{\displaystyle n\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba171bb1c6f328b23843f081238e841cc9d1be98)
De même le second terme
![{\displaystyle -{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}=-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c9694a7566aa7d61159e0e8b5928db5e894c36)
ne pourra donner dans le développement final des termes en
![{\displaystyle \sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a38256c88be4b36afe1998336b0776cd868702)
où ![{\displaystyle m\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1732fc8d0d69042b774684bf35df129f530a8a83)
Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.
Le dernier terme
![{\displaystyle {\frac {\beta \beta '\,\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1372b19304313a1b19c64c495afad35a0fb6c8dc)
peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par
l’inclinaison
des orbites et par
et
les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a
![{\displaystyle \cos \mathrm {D} =\cos v\cos v'+\cos i\sin v\sin v',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314951dc88ef0797eb582b224d0db1d5300c4195)