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DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

puissances de $\mu \,;$ elles se réduiront aux variables (7) pour $\mu =0.$

Nous nous trouverons donc dans les conditions où le résultat précédent est applicable et nous devons conclure que, si l’on pose

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m'_{1}l')},$

$\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ s’annule pour

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.$

Ce résultat peut se vérifier directement sans difficulté. Reportons-nous en effet aux expressions données par M. Tisserand dans sa Mécanique céleste (t. I, p. 312).

Le résultat qu’il s’agit de vérifier, traduit dans les notations de M. Tisserand, peut s’énoncer ainsi (je rappelle que M. Tisserand désigne par $\sigma$ le cosinus de l’angle des deux rayons vecteurs).

Si l’on pose

$\sigma \left({\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {r'}{r^{2}}}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n,n'}e^{{\sqrt {-1}}(n\zeta +n'\zeta ')},$

$\mathrm {B} _{n,n'}$ s’annule pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0\,;$

et, en effet, en se reportant aux expressions de la page que je viens de citer, on trouve

$\mathrm {B} _{n,n'}=\left({\frac {n'a}{n\,a'^{2}}}-{\frac {n\,a'}{n'a^{2}}}\right)\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ dépendant seulement des excentricités, des inclinaisons, des longitudes des périhélies et des nœuds ; cette expression s’annulera donc pour

${\frac {n^{2}}{a^{3}}}={\frac {n'^{2}}{a'^{3}}},$

et par conséquent pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0.$
C.Q.F.D.