Si on aura
Il vient alors
Si donc on développe sous la forme
le coefficient ne sera autre chose que si
Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée de pour très grand et par conséquent à étudier les singularités de la fonction
95.La fonction est définie comme une intégrale prise par rapport à le long de la circonférence On peut remplacer cette circonférence par un contour quelconque, à une condition toutefois.
Regardons un instant comme une constante et comme une fonction de Cette fonction admettra un certain nombre de points singuliers.
Il faut qu’entre la circonférence et le contour il n’y ait aucun de ces points singuliers.
Faisons maintenant varier d’une manière continue ; ces points singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même temps, on déforme le contour d’une façon continue, et de telle sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction restera holomorphe.
La fonction ne peut donc cesser d’être continue que s’il devient impossible de déformer le contour de façon qu’il ne passe pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons que, pour une certaine valeur de nous ayons deux points singuliers et l’un extérieur, l’autre intérieur au contour Si, en faisant varier d’une manière continue, l’un d’eux, par exemple, vient sur le contour nous pourrons déformer en le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de