Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/293

281

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

$a,\,b,\,c,\,d$ étant des entiers finis et $n$ un entier très grand ; $a$ et $c$ sont premiers entre eux.

Si je dis alors qu’on a approximativement

$\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\varphi (n),\quad (m_{1}=an+b,\;m_{2}=cn+d),$

cette égalité signifiera que le rapport

${\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{\varphi (n)}}$

tend vers l’unité quand $n$ croît indéfiniment et que $a,$ $b,$ $c,$ $d$ restent finis.

Le problème à résoudre étant ainsi défini, j’emploierai les notations suivantes.

Posons

${\begin{aligned}e^{{\sqrt {-1}}l}&=t^{c},&e^{{\sqrt {-1}}l'}&=t^{-a}z^{\frac {1}{c}},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{m_{1}c-m_{2}a}z^{\frac {m_{2}}{c}}.$

Si nous posons alors, pour abréger,

$\mathrm {F} (z,\,t)=\mathrm {F} _{1}^{0}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},$

il viendra

$\mathrm {F} (z,\,t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{\alpha }z^{\frac {m_{2}-d}{c}},$

en faisant, pour abréger,

$\alpha =m_{1}c-m_{2}a+ad-bc-1.$

Soit maintenant

$\Phi (z)={\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt,$

l’intégrale étant prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1$ Nous aurons

$\Phi (z)=\sum {\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{2i\pi }}z^{\frac {m_{2}-d}{c}}\int t^{\alpha }\,dt.$

Toutes les intégrales sont nulles, sauf celles pour lesquelles $\alpha =-1$ et qui sont égales à $2i\pi .$