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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les
deux équations
![{\displaystyle \mathrm {H} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84168a352d6363175901eb8cfd4e7d98dd1ce26d)
ou encore par les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {H} _{0}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae8be04a3881a704747cebd7dc39fdffb01a1d5)
Nous avons
![{\displaystyle \mathrm {H} =\cos u-\sin \varphi +i\cos \varphi \sin u-\beta (\cos u'-\sin \varphi '+i\cos \varphi '\sin u').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc8a6cafe304462afde01cf8caf6fd4e3d907c)
L’équation
peut donc être remplacée par la suivante :
![{\displaystyle {\frac {c(-\sin u+i\cos \varphi \sin u)}{1-\sin \varphi \cos u}}+{\frac {a\beta (-\sin u'+i\cos \varphi '\sin u')}{1-\sin \varphi '\cos u'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6718b073f636e9fe884c8f28a81ea1ec9a26ffc)
ou
(5)
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De même l’équation
peut être remplacée par la suivante
(6)
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Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par
les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à
l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport
des entiers
et
Tous les points singuliers de
sont donc donnés par des
équations algébriques.
Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose
Il est permis alors de supposer
et par conséquent
L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à
et
il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent
(3)
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(4)
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