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CHAPITRE VI.

Les équations (5) et (6) deviennent

(5)

${\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{a\beta }y=0,$

(6)

${\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}-{\frac {a\beta }{y}}=0.$

La combinaison des équations (3) et (5) donne

(7)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad +{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0,\end{array}}\right.$

et celle des équations (4) et (6) donne

(8)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad -{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0.\end{array}}\right.$

Les équations (7) et (8) nous donnent les valeurs de $x$ correspondant aux points de la deuxième espèce ; l’équation (1) nous donne les valeurs de $x$ correspondant à certains points de première espèce. Il nous reste à parler des points de première espèce définis par les équations (3) et (4), puisque l’équation (2) devient illusoire.

Les équations (3) et (4) s’écrivent

$\xi -\beta \eta =\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.$

Si elles sont satisfaites à la fois, on aura

$\xi \xi _{0}=\beta \beta _{0}\eta \eta _{0}=\beta ^{2}.$

Or

$\xi \xi _{0}=(1-\sin \varphi \cos u)^{2}.$

Il reste donc

$1-\sin \varphi \cos u=\pm \beta ,$

de sorte que les valeurs de $x$ correspondant à cette sorte de points singuliers seront données par les deux équations

(9)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=\;\;\;2\beta x,$

(10)

$2x-\sin \varphi (x^{2}-1)=-2\beta x.$