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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
de M. Weierstrass, que l’on a identiquement
où est une série développée suivant les puissances de
et et ne s’annulant pas pour où et
sont deux séries ordonnées suivant les puissances de et se déduisant
respectivement à et à 0 pour (Weierstrass,
Abhandlungen aus der Functionenlehre, Berlin, Springer, 1886,
p. 107 et suiv. ; voir aussi Poincaré, Thèse inaugurale, Paris,
Gauthier-Villars, 1879).
Nous pouvons poser alors
d’où
étant développable suivant les puissances croissantes de
et
Passons à une seconde hypothèse qui sera celle où, l’inclinaison
étant nulle, le point singulier sera l’un des points B, R, B′ ou
R′. On verrait alors que est encore de la même forme ; il
y a cependant une différence. Dans la première hypothèse, est
divisible par mais non par dans la seconde, est
divisible par
Les dernières hypothèses qu’il nous reste à examiner sont celles
où l’on a soit ou soit ou
Dans ce cas, il peut être utile de faire un changement de variable.
Supposons d’abord
Nous prendrons alors pour variables nouvelles, non plus et
mais et dans le voisinage du point singulier considéré, est
développable suivant les puissances croissantes de et
et, par conséquent, suivant celles de et
et, par conséquent, suivant celles de et
est
également développable suivant les puissances de et de
Si donc nous posons
(1)
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