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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

en fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ par les équations

(5)

${\begin{aligned}y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}&=l,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }}&=g,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }}&=\theta \,;\end{aligned}}$

seulement $\mathrm {L} ,\,\mathrm {G} ,\,\Theta ,\,g$ et $\theta$ ne seraient plus des constantes.

Nous pouvons nous servir alors des six variables (4) pour définir la position et la vitesse de la masse mobile. Nous donnerons à ces variables (4) le nom de variables képlériennes. Il importe de remarquer que la définition de ces variables képlériennes dépend de l’origine à laquelle la masse mobile est rapportée et de la valeur choisie pour $\mathrm {M} .$

Si la masse mobile est une planète qui est soumise à l’action prépondérante de la masse $\mathrm {M}$ et à diverses forces perturbatrices, on voit que ces variables képlériennes ne sont autre chose que ce que les astronomes appellent les éléments osculateurs de cette planète.

Dans le cas particulier où l’orbite du corps $m_{1}$ est plane, on peut prendre, comme variables nouvelles,

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {a}},&\mathrm {G} &={\sqrt {a(1-e^{2})}}\end{aligned}}$

avec l’anomalie moyenne $l$ et la longitude du périhélie $g.$ Les variables képlériennes ne sont plus alors qu’au nombre de 4.

Il importe de faire quelques remarques au sujet de l’emploi de ces variables képlériennes : remarquons d’abord que les variables anciennes

$x_{1},\quad x_{2},\quad x_{3}\,;\quad y_{1},\quad y_{2},\quad y_{3}$

et la situation du corps $m_{1}$ ne changent pas quand on augmente $l,$ $g$ ou $\theta$ de $2\pi ,$ sans toucher aux autres variables. Ces variables anciennes sont donc des fonctions périodiques de $l,$ $g$ et $\theta .$

En second lieu, on doit toujours avoir

$\mathrm {L} ^{2}\geq \mathrm {G} ^{2}\geq \Theta ^{2}$

Enfin, si $\mathrm {G} =\pm \Theta ,$ les variables anciennes et la situation du corps $m_{1}$ ne dépendent plus de $\theta \,;$ et, si $\mathrm {L} =\pm \mathrm {G} ,$ elles ne dépendent plus de $g.$