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CHAPITRE 1.

stantes arbitraires $\mathrm {G}$ et $\Theta ,$ et en faisant

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\Theta {\sqrt {\mathrm {M} }},\qquad \left({\dfrac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\dfrac {\Theta ^{2}\mathrm {M} }{\sin ^{2}\omega }}=\mathrm {G} ^{2}\mathrm {M} ,\\\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\dfrac {\mathrm {G} ^{2}\mathrm {M} }{r^{2}}}={\dfrac {2\mathrm {M} }{r}}+2h\;.\\\end{array}}\right.$

La fonction $\mathrm {S}$ ainsi définie dépendra de $r,$ $\omega ,$ $\varphi ,$ $\mathrm {G} ,$ $\Theta ,$ $h$ ou, ce qui revient au même, de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $\mathrm {G} ,$ $\Theta ,$ $h,$ et la solution générale des équations (1) s’écrira

${\begin{aligned}y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},&h'+t&={\frac {d\mathrm {S} }{dh}},&g&={\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }},&\theta &={\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }},\end{aligned}}$

$h',\,g$ et $\theta$ étant trois nouvelles constantes arbitraires. Si nous posons

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {\frac {-\mathrm {M} }{2h}}},&h&=-{\frac {\mathrm {M} }{2\mathrm {L} ^{2}}},&n&={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}},&l&=n(t+h'),\end{aligned}}$

nous pourrons écrire

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}={\frac {d\mathrm {S} }{dh}}{\frac {dh}{d\mathrm {L} }}=(h'+t){\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}}=n(h'+t)=l.$

Les constantes d’intégration sont alors au nombre de six, à savoir

$\mathrm {L} ,\quad \mathrm {G} ,\quad \Theta ,\quad h',\quad g,\quad \theta .$

Il est aisé d’apercevoir la signification de ces constantes et de les exprimer en fonctions de celles qui sont habituellement employées. Si $a,e$ et $i$ désignent le grand axe, l’excentricité et l’inclinaison, on a

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\sqrt {a}},&\mathrm {G} &={\sqrt {a(1-e^{2})}},&\Theta &=\mathrm {G} \cos i.\end{aligned}}$

D’autre part, $\theta$ est la longitude du nœud, $g+\theta$ celle du périhélie, $n$ est le moyen mouvement et $l$ n’est autre chose que l’anomalie moyenne.

Si la masse mobile, au lieu d’être soumise à l’attraction de la masse $\mathrm {M} ,$ était soumise à d’autres forces, nous pourrions néanmoins construire la fonction $\mathrm {S}$ et définir ensuite six variables nouvelles

(4)

$\left\{{\begin{array}{rrr}\mathrm {L} ,&\mathrm {G} ,&\Theta ,\\l,&g,&\theta ,\end{array}}\right.$