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CHAPITRE VI.

de sorte qu’en posant

$2i\pi \mathrm {J} _{n}=\int {\frac {(t-h)^{n}\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},$

il vient

$\Phi (z)=\Phi _{1}(z)+{\textstyle \sum }\theta _{n}\mathrm {J} _{n}.$

D’autre part,

$2i\pi \mathrm {J} _{0}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}=\log {\frac {\gamma -h+{\sqrt {(\gamma -h)^{2}+k}}}{\beta -h+{\sqrt {(\beta -h)^{2}+k}}}}\cdot$

Nous en conclurons (en observant que le chemin d’intégration passe entre $t_{1}=h+{\sqrt {k}}$ et $t_{2}=h-{\sqrt {k}}$) que

$2i\pi \mathrm {J} _{0}=\lambda _{0}(z)+\log(z-z_{0}),$

$\lambda _{0}(z)$ étant holomorphe pour $z=z_{0}.$

Dans le cas où $k$ serait divisible par $(z-z_{0})^{2},$ il faudrait dire $2\log(z-z_{0})$ (deuxième hypothèse du numéro précédent) et non $\log(z-z_{0}).$

Il vient ensuite

${\begin{aligned}2i\pi \mathrm {J} _{1}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {(t-k)\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}&={\text{fonction holomorphe de }}z,\\n\mathrm {J} _{n}+k(n-1)\mathrm {J} _{n-2}&={\text{fonction holomorphe de }}z.\\\end{aligned}}$

Donc $\mathrm {J} _{n}$ reste holomorphe en $z$ si $n$ est impair. Si maintenant $n$ est pair et que nous posions

$\alpha _{n}={\frac {(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2)\ldots 2}},$

on aura

$2i\pi \mathrm {J} _{n}=\lambda _{n}(z)+(-k)^{\frac {n}{2}}\alpha _{n}\log(z-z_{0}),$

$\lambda _{n}(z)$ étant holomorphe en $z.$

Il vient donc finalement

$\Phi (z)=\sum _{n=0}^{n=\infty }{\frac {\theta _{2n}(-k)^{n}\alpha _{n}}{2i\pi }}\log(z-z_{0})+\Phi _{2}(z),$

$\Phi _{2}$ restant holomorphe en $z$ pour $z=z_{0}.$