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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Je puis écrire encore
![{\displaystyle \Phi (z)=\Phi _{2}(z)+\Phi _{3}(z)\log(z-z_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4762ee610653602d14ed0546ab15db6d1e5bda)
et
restant holomorphes pour ![{\displaystyle z=z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0525b32971d2d5001dc828ca8b1efba1e4c709c2)
Nous avons
![{\displaystyle \Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{an+b,cn+d}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd29a4354e139d6324ca1531ccaf7c8f62d60042)
Si donc
![{\displaystyle \Phi _{3}(z)=\delta _{0}+\delta _{1}(z-z_{0})+\delta _{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d91edcee62cbbd1f2a07c471fdbf7e365b1417)
et si
![{\displaystyle (z-z_{0})^{h}\log(z-z_{0})={\textstyle \sum }\gamma _{n,h}z^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed16825ac4b007094bc3d668f5c7a4bf3f356a9)
on aura approximativement pour
très grand
![{\displaystyle \mathrm {A} _{an+b,cn+d}=\delta _{0}\gamma _{n,0}+\delta _{1}\gamma _{n,1}+\ldots +\delta _{p}\gamma _{n,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb64995ae08b37ce2c633e097c0eeeb6473593e5)
En général, on pourra se contenter de prendre le premier terme
![{\displaystyle \delta _{0}\gamma _{n,0}={\frac {\theta _{0,0}}{2i\pi }}\,{\frac {-1}{nz_{0}^{d}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a34ee1059dc7d119341dabc32c77c9a848e849)
étant la valeur de
pour
ou bien encore celle de
pour
![{\displaystyle t=t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de8a1e6c41d2310938a0dcdc51f8f7a4c5fb2f)
Or, si j’appelle
le carré de la distance des deux planètes, on a,
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}={\frac {t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}}}{\sqrt {\Delta }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2ade1f1391aaea7fc4110116dbc3f271003bf9)
Donc
![{\displaystyle \theta _{0,0}={\frac {1}{2}}t_{0}^{ad-bc-1}\,z_{0}^{-{\frac {d}{c}}}{\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d988b1135c6381ea55215ba9d7721eb89de0822)
à la condition, bien entendu, qu’on fasse
dans ![{\displaystyle {\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afaf39944e070c649ce6a20302d85e086a7529e7)
Ce que je viens de dire s’applique à la première et à la deuxième
hypothèse du numéro précédent. Si l’on supposait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c32e12339dbda6639bf81a0f1068b61c153482d)
une méthode analogue serait applicable puisque nous avons, dans
ce cas, ramené
à une intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb0464c9e5433b914d6a6e4729b07796fc8d88a)