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CHAPITRE VI.

« point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la courbe $\mathrm {P} ,$ mais elle présente deux branches de courbes distinctes se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.

Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe des $x,$ et huit dans celle de l’axe des $y.$

Il reste donc

$42-2-8-8=24$ points singuliers.

Cela posé, est-il possible que les $z$ de ces 24 points singuliers ne dépendent que de deux variables ? Appelons $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ ces deux variables. Nous pouvons en choisir une troisième $\gamma _{3}$ de façon que $i,$ $\varpi$ et $\varpi '$ soient des fonctions de $\gamma _{1},$ $\gamma _{2}$ $\gamma _{3}.$ Alors, quand on ferait varier $\gamma _{3},$ les deux autres variables $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ demeurant constantes, les $z$ ne devraient pas varier.

On a par hypothèse

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

En différentiant la première de ces deux équations, on trouve

${\frac {d\Delta }{dt}}\,dt+{\frac {d\Delta }{dz}}\,dz+{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.$

Or ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ et d’autre part $dz$ devrait être nul puisque $z$ ne devrait pas varier. Il resterait donc

(2)

${\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.$

Voyons ce que signifie cette équation. Si l’on fait varier $\gamma _{3},$ la courbe $\Delta =0$ (ou ce qui revient au même la courbe $\mathrm {P} =0$) varie ; considérons la courbe

$\Delta +{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}=0,$

infiniment peu différente de $\mathrm {P} =0$ et que j’appellerai la courbe $\mathrm {P} '.$ L’équation (2) signifierait que cette courbe $\mathrm {P} '$ devrait passer par les 24 points singuliers.