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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

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CHAPITRE VII.

SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

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104.Soient

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

$n$ équations différentielles simultanées. Les $\mathrm {X}$ sont des fonctions des $x$ et de $t.$

Par rapport aux $x,$ elles peuvent être développées en séries de puissances.

Par rapport à $t,$ elles sont périodiques de période $2\pi .$

Soit

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&x_{n}&=x_{n}^{0}\end{aligned}}$

une solution particulière périodique de ces équations. Les $x_{i}^{0}$ seront des fonctions de $t$ périodiques de période $2\pi .$ Posons

$x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i}.$

Il viendra

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\Xi _{i}.$

Les $\Xi$ seront des fonctions des $\xi$ et de $t,$ périodiques par rapport à $t$ et développées suivant les puissances des $\xi \,;$ mais il n’y aura plus de termes indépendants des $\xi .$

Si les $\xi$ sont très petits et qu’on néglige leurs carrés, les équations se réduisent à

(3)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}^{0}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}^{0}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}^{0}}}\xi _{n},$

qui sont les équations aux variations des équations (1).