Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/348

336

CHAPITRE VII.

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. On connaît la forme de leur solution générale, on trouve

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{11}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{21}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{12}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{22}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\\xi _{n}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{1n}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{2n}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{nn};\end{aligned}}$

les $\mathrm {A}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha$ des constantes fixes qu’on appelle exposants caractéristiques, les $\varphi$ des fonctions périodiques de $t.$

Si alors nous posons

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}\varphi _{11}+\eta _{2}\varphi _{21}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\eta _{1}\varphi _{12}+\eta _{2}\varphi _{22}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{n}&=\eta _{1}\varphi _{1n}+\eta _{2}\varphi _{2n}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{nn},\end{aligned}}$

les équations (2) deviendront

(2′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i},$

où les $\mathrm {H} _{i}$ sont des fonctions de $t$ et des $\eta$ de même forme que les $\Xi .$

Nous pourrons d’ailleurs écrire

(2′′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i}^{1}+\mathrm {H} _{i}^{2}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{n}+\ldots \,;$

$\mathrm {H} _{i}^{p}$ représente l’ensemble des termes de $\mathrm {H} _{i}$ qui sont de degré $p$ par rapport aux $\eta .$

Quant aux équations (3), elles deviennent

(3′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i}^{1}=\alpha _{i}\eta _{i}.$

Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (2) et (2').

Je dis que nous devrons trouver :

$\eta _{i}$ fonction développée suivant les puissances de $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$