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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Nous pouvons écrire alors

(4′)

$\eta _{i}=\eta _{i}^{1}+\eta _{i}^{2}+\ldots +\eta _{i}^{p}+\ldots ,$

$\eta _{i}^{p}$ représentant l’ensemble des termes de $\eta _{i}$ qui sont de degré $p$ par rapport aux $\mathrm {A.}$

Nous remplacerons les $\eta _{i}$ par leurs valeurs dans $\mathrm {H} _{i}^{p}$ et nous trouverons

$\mathrm {H} _{i}^{p}=\mathrm {H} _{i}^{p,p}+\mathrm {H} _{i}^{p,p+1}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{p,q}+\ldots$

$\mathrm {H} _{i}^{p,q}$ désignant l’ensemble des termes qui sont de degré $q$ par rapport aux $\mathrm {A.}$

Nous trouverons alors

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dt}}&=\alpha _{i}\eta _{i}^{1},\qquad \qquad \qquad \eta _{i}^{1}=\mathrm {A} _{i}e^{\alpha -it},\\{\frac {d\eta _{i}^{2}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{2}&=\mathrm {H} _{i}^{2,2},\qquad {\frac {d\eta _{i}^{3}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{3}=\mathrm {H} _{i}^{2,3}+\mathrm {H} _{i}^{3,3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\{\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}&=\mathrm {H} _{i}^{2,q}+\mathrm {H} _{i}^{3,q}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{q,q}=\mathrm {K} _{q}.\end{aligned}}$

Ces équations permettront de calculer successivement par récurrence

$\eta _{i}^{2},\quad \eta _{i}^{3},\quad \ldots ,\quad \eta _{i}^{q},\quad \ldots .$

En effet, $\mathrm {K} _{q}$ ne dépend que des $\eta ^{1},\,\eta ^{2},\,\ldots ,\,\eta ^{q-1}.$ Si nous supposons que ces quantités aient été préalablement calculées, nous pourrons écrire $\mathrm {K} _{q}$ sous la forme suivante

$\mathrm {K} _{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{t(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n})}\psi ,$

les $\beta$ étant des entiers positifs dont la somme est $q$ et $\psi$ une fonction périodique.

On peut écrire encore

$\psi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}$

$\mathrm {C}$ étant un coefficient généralement imaginaire et $\gamma$ un entier positif ou négatif. Nous écrirons, pour abréger,

$\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}=\mathrm {A} ^{q},\quad \alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n}={\textstyle \sum }\,\alpha \beta ,$