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CHAPITRE VII.

sances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;$

comme, par hypothèse, les parties réelles de

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{k}$

sont positives, les exponentielles

$e^{\alpha _{1}t},\quad e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad e^{\alpha _{k}t}$

tendent vers 0 quand $t$ tend vers $-\infty .$ Il en est donc de même des quantités $\eta _{i},$ ce qui veut dire que, quand $t$ tend vers $-\infty ,$ la solution représentée par la série (4′) se rapproche asymptotiquement de la solution périodique considérée. Nous l’appellerons pour cette raison solution asymptotique.

Nous obtiendrons un second système de solutions asymptotiques en annulant dans la série (4′) tous les coefficients $\mathrm {A}$ qui correspondent à des exposants $\alpha$ dont la partie réelle soit positive ou nulle. Cette série est alors développée suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}'e^{\alpha _{1}'t},\quad \mathrm {A} _{2}'e^{\alpha _{2}'t},\quad ,\ldots \quad \mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}'t},$

les exposants $\alpha _{1}',\,\alpha _{2}',\,\ldots ,\,\alpha _{k}'$ ayant leur partie réelle négative. Si alors on fait tendre $t$ vers $+\infty ,$ la solution correspondante se rapprochera asymptotiquement de la solution périodique considérée.

Si l’on suppose que les équations données rentrent dans les équations de la Dynamique, nous avons vu que $n$ est pair et que les $\alpha$ sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Alors, si $k$ d’entre eux ont leur partie réelle positive, $k$ auront leur partie réelle négative et $n-2k$ auront leur partie réelle nulle. En prenant d’abord les $\alpha$ qui ont leur partie réelle positive, on obtiendra une solution particulière contenant $k$ constantes arbitraires ; on en obtiendra une seconde en prenant les $\alpha$ qui ont leur partie réelle négative.

Dans le cas où aucun des $\alpha$ n’a sa partie réelle nulle et, en particulier, si tous les $\alpha$ sont réels, on a d’ailleurs

$k={\frac {n}{2}}\cdot$