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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
106.Supposons que dans les équations (1) les dépendent
d’un paramètre et que les fonctions soient développables suivant
les puissances de ce paramètre.
Imaginons que, pour les exposants caractéristiques
soient tous distincts de telle façon que ces exposants, étant définis
par une équation [analogue à celle du no 74, mais
telle que l’équation ait toutes ses racines distinctes]
soient eux-mêmes développables suivant les puissances de en
vertu des no 30 et 31.
Supposons enfin que l’on ait, ainsi que nous venons de le dire,
annulé toutes les constantes qui correspondent à un dont la
partie réelle est négative ou nulle.
Les séries (4′) qui définissent les quantités dépendent alors
de Je me propose d’établir que ces séries peuvent être développées,
non seulement suivant les puissances des mais encore
suivant les puissances de
Considérons l’inverse de l’un des diviseurs (5)
Je dis que cette expression peut être développée suivant les puissances de
Soient les exposants caractéristiques dont la
partie réelle est positive pour et pour les petites valeurs
de et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d’eux
est développable suivant les puissances de Soit la valeur de
pour nous pourrons prendre
assez petit pour que
diffère aussi peu que nous voudrons de quand Soit alors
une quantité positive plus petite que la plus petite des parties
réelles des quantités
nous pourrons prendre
assez petit pour que, quand les exposants
aient leur partie réelle plus grande que
La partie réelle de sera alors plus grande que
(si ), de sorte qu’on aura
(6)
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Ainsi, si la fonction