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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

nous pouvons donc prendre $h$ et $\mu _{0}$ assez petits pour que la valeur absolue de l’un quelconque d’entre eux reste plus grande que $h$ quand $|\mu |$ reste plus petit que $\mu _{0}.$

Alors l’inverse d’un diviseur (5) quelconque est développable suivant les puissances de $\mu ,$ et les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux de

${\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot$

Nous avons écrit plus haut

$\mathrm {H} _{i}^{p}=\Sigma \,\mathrm {C} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

D’après nos hypothèses, $\mathrm {C}$ peut être développé suivant les puissances de $\mu$ de telle sorte que je puis poser

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i},&\mathrm {H} _{i}^{p}&=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}\end{aligned}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

Reprenons maintenant les équations (2′′), en y faisant

${\begin{aligned}\varepsilon &=h\left(1-{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right),\\{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}&=\Sigma \,|\mathrm {E} |\,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

Les seconds membres des équations (2′′) seront alors des séries convergentes ordonnées selon les puissances de $\mu ,$ de $\eta _{1},$ $\eta _{2},$ $\ldots ,$ $\eta _{n}.$

On en tirera les $\eta _{i}$ sous la forme des séries (4′′), convergentes et ordonnées suivant les puissances de $\mu ,$ $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}.$

Des équations (2′), nous tirerions d’autre part les $\eta _{i}$ sous la forme des séries (4′) ordonnées suivant les puissances de $\mu ,$ $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$ $e^{t{\sqrt {-1}}},$ $e^{-t{\sqrt {-1}}}.$ Chacun des termes de (4′) est plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4′′), et comme les séries (4′′) convergent, il en sera de même des séries (4′).