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CHAPITRE VII.

reste uniforme, continue, finie et plus petite en valeur absolue que ${\frac {1}{h}}\cdot$

Nous en conclurons d’après un théorème bien connu que cette fonction est développable suivant les puissances de $\mu$ et que les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux du développement de

${\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot$

Il est à remarquer que les nombres $h$ et $\mu _{0}$ sont indépendants des entiers $\beta$ et $\gamma .$

Il y aurait exception dans le cas où $\beta _{i}$ serait nul. La partie réelle du diviseur (5) pourrait alors être plus petite que $h$ et même être négative. Elle est égale, en effet, à la partie réelle de $\Sigma \,\alpha \beta$ qui est positive, moins la partie réelle de $\alpha _{i}$ qui est également positive et qui peut être plus grande que celle de $\Sigma \,\alpha \beta ,$ si $\beta _{i}$ est nul.

Supposons que la partie réelle de $\alpha _{i}$ reste plus petite qu’un certain nombre $h_{2}$ tant que $|\mu |<\mu _{0}.$ Alors, si

(7)

$\Sigma \,\beta >{\frac {h_{1}}{h}}+1$

la partie réelle de (5) est certainement plus grande que $h\,;$ il ne peut donc y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5), pour lesquels l’inégalité (7) n’a pas lieu.

Supposons maintenant que la partie imaginaire des quantités $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{k}$ reste constamment plus petite en valeur absolue qu’un certain nombre positif $h_{2},$ si l’on a alors

(8)

$|\gamma |>h_{2}\Sigma \,\beta +h,$

la partie imaginaire de (5) et, par conséquent, son module seront encore plus grands que $h\,;$ de telle sorte qu’il ne peut y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune des inégalités (7) et (8) n’a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont à aucune de ces inégalités sont en nombre fini.

D’après une hypothèse que nous avons faite plus haut, aucun d’eux ne s’annule pour les valeurs de $\mu$ que nous considérons ;