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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Les termes indépendants des $w$ ne sont en effet autre chose que les séries (2) du n^o 44 et les coefficients de

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}$

ne sont autre chose que les séries $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ du n^o 79.

Il me reste à dire un mot des premières approximations.

Nous donnerons aux $x_{i}^{0}$ des valeurs constantes qui ne sont autres que celles que nous avons désignées ainsi au n^o 44.

Nous aurons alors les équations suivantes :

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}=0,\quad {\frac {dx_{i}^{1}}{dt}}=0,\quad {\frac {dy_{i}^{1}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1},\\{\frac {dx_{i}^{2}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\cdot \\\end{aligned}}\right.$

Dans $\mathrm {F} _{0}$ qui ne dépend que des $x_{i},$ ces quantités doivent être remplacées par $x_{i}^{0}.$ Dans $\mathrm {F} _{1}$ les $x_{i}$ sont remplacés par $x_{i}^{0}$ et les $y_{i}$ par $n_{i}t.$ $\mathrm {F} _{1}$ devient alors une fonction périodique de $t$ dont la période est $\mathrm {T} .$ Nous désignerons par $\psi$ la valeur moyenne de cette fonction périodique $\mathrm {F} _{1}\,;$ $\psi$ est alors une fonction périodique et de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}^{0}.$

Les deux premières équations (7) montrent que les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ ne dépendent que des $w.$ En égalant dans les deux dernières équations (7) les valeurs moyennes des deux membres, il vient

(8)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}^{1}\,w_{k}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}x_{k}^{1},\\[0.75ex]{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}^{1}\,w_{k}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Ces équations (8) doivent servir à déterminer les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ en fonctions des $w.$ Peut-on satisfaire à ces équations en substituant à la place des $y_{i}^{0}$ et des $x_{i}^{1}$ des séries développées suivant les puissances de $w\,?$

Pour nous en rendre compte envisageons les équations différentielles suivantes

(9)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}x_{k}^{1},\\[0.75ex]{\frac {dx_{i}^{1}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$