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CHAPITRE VII.

mais, si l’on observe que

$n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}=0,$

on en déduirait

${\frac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}={\frac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}=0,$

ce qui ne peut avoir lieu.

Le déterminant $\Delta$ n’est donc pas nul. On peut encore l’établir de la manière suivante. Considérons les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=b_{i1}\eta _{1}+b_{i2}\eta _{2},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\xi _{1}+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\xi _{2}.\\\end{aligned}}$

Ce sont des équations linéaires à coefficients constants. Elles admettent quatre solutions linéairement indépendantes, à savoir

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{t}{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{t}\mathrm {T} _{i}\,;\\\xi _{i}&=e^{-t}{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{-t}\mathrm {T} _{i}'\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}''\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}+t{\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}$

Il va sans dire que, dans les $\mathrm {T} _{i}$ et les ${\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},$ il faut faire $\alpha =0,$ de telle sorte que ces quantités se réduisent à des constantes.

Ces quatre solutions étant linéairement indépendantes, leur déterminant pour $t=0$ ne doit pas s’annuler ; or ce déterminant est précisément $\Delta .$ Donc $\Delta$ n’est pas nul.

C.Q.F.D.

On voit ainsi que les fonctions $\Theta _{i}$ jouissent bien des propriétés énoncées.

111.L’analyse précédente s’étend immédiatement au cas où il y a plus de 2 degrés de liberté.

Si nous posons

$\xi _{i}={\sqrt {\mu }}\zeta _{i},$