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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
pour qu’elle le soit quand on a
Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit et, par
conséquent pour elles le seront donc encore, quel que
soit et, par conséquent pour
C.Q. F. D.
On démontrerait absolument de la même manière un lemme un
peu plus général :
Soient
des fonctions de
et développables suivant les puissances des et
telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de et de
Envisageons les équations
(3)
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et
(3 bis)
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Supposons que l’on ait, quel que soit pour
cela aura lieu quel que soit pour
Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet
des fonctions et
Supposons :
1o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à et de période
2o Que pour les petites valeurs de elles sont développables
suivant les puissances croissantes de cela peut d’ailleurs ne pas
avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de il suffit qu’il
en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;
3o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances