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CHAPITRE VII.
entières du paramètre
et sont divisibles par
on doit d’ailleurs avoir
![{\displaystyle \varphi _{i}\ll \varphi _{i}'\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecf51d2f0e26b4994e2e48bd1d2fa88d6ddb8a3)
4o Que si l’on appelle
et
ce que deviennent
et
quand on y annule tous les
ces quantités
et
sont divisibles par
Si toutes ces hypothèses sont réalisées, les théories des numéros
précédents nous font savoir qu’il existe des solutions particulières
des équations (3) et (3 bis) de la forme suivante
(4)
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les
et les
étant des fonctions de
et de
périodiques
par rapport à
et développables suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Les équations (3) [ou (3 bis) qui sont de même forme] peuvent
en effet se ramener à la forme des équations (2) du no 104.
Reprenons, en effet, ces équations (2) du no 104, elles s’écrivent
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}=\Xi _{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2325da8d820dfec61ab8608fb09153edbb857b7)
les
étant développables suivant les puissances des
et d’un
paramètre très petit, sont de plus des fonctions de
elles s’annulent
avec les ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Les
dépendent de
non seulement directement, mais par l’intermédiaire
des exponentielles
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b52537a72ee725d053f3b5c0fdd1425cba72dd8)
Ici nous supposons que tous les coefficients
sont
nuls à l’exception de l’un d’entre eux ; nous n’aurons donc à nous
occuper que d’une seule exponentielle
Les
dépendront
alors de
d’abord directement, puis par l’intermédiaire de
Si
donc nous représentons les dérivées partielles par des
et les
dérivées totales par des
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}={\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8b1e9af9d884385a4567aa353cf6066430303e)