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CHAPITRE VII.

entières du paramètre $\alpha$ et sont divisibles par $\alpha \,;$ on doit d’ailleurs avoir

$\varphi _{i}\ll \varphi _{i}'\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,\alpha )\,;$

4^o Que si l’on appelle $\varphi _{i}^{0}$ et $\varphi _{i}'^{0}$ ce que deviennent $\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'$ quand on y annule tous les $x,$ ces quantités $\varphi _{i}^{0}$ et $\varphi _{i}'^{0}$ sont divisibles par $w^{2}.$

Si toutes ces hypothèses sont réalisées, les théories des numéros précédents nous font savoir qu’il existe des solutions particulières des équations (3) et (3 bis) de la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=\mathrm {A} _{i,2}w^{2}+\mathrm {A} _{i,3}w^{3}+\ldots ,\\x_{i}'&=\mathrm {A} _{i,2}'w^{2}+\mathrm {A} _{i,3}'w^{3}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {A} _{i,n}$ et les $\mathrm {A} _{i,n}'$ étant des fonctions de $t$ et de $\alpha ,$ périodiques par rapport à $t$ et développables suivant les puissances croissantes de $\alpha .$

Les équations (3) [ou (3 bis) qui sont de même forme] peuvent en effet se ramener à la forme des équations (2) du n^o 104.

Reprenons, en effet, ces équations (2) du n^o 104, elles s’écrivent

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}=\Xi _{i}\,;$

les $\Xi _{i}$ étant développables suivant les puissances des $\xi _{i}$ et d’un paramètre très petit, sont de plus des fonctions de $t\,:$ elles s’annulent avec les $\xi _{i}.$

Les $\xi _{i}$ dépendent de $t$ non seulement directement, mais par l’intermédiaire des exponentielles

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}.$

Ici nous supposons que tous les coefficients $\mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n}$ sont nuls à l’exception de l’un d’entre eux ; nous n’aurons donc à nous occuper que d’une seule exponentielle $w=\mathrm {A} e^{\alpha t}.$ Les $\xi _{i}$ dépendront alors de $t$ d’abord directement, puis par l’intermédiaire de $w.$ Si donc nous représentons les dérivées partielles par des $d$ et les dérivées totales par des $\partial ,$ il viendra

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}={\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}},$