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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

Dans le cas où la fonction $\varphi$ s’annule pour $x=y=0,$ on peut écrire

${\begin{aligned}\varphi &\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)}{1-\alpha (x+y)}}\\[0.5ex]&\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)[1+\alpha (x+y)]}{1-\alpha (x+y)}}\\\end{aligned}}$

Supposons que $\varphi ,$ outre les arguments $x$ et $y,$ par rapport auxquels on la suppose développée, dépende en outre d’une autre variable $t\,:$ les nombres $\mathrm {M}$ et $\alpha$ seront des fonctions généralement continues de $t\,;$ si ces deux nombres ne s’annulent pour aucune des valeurs de $t$ envisagées, on pourra leur assigner une limite inférieure ; on pourra donc donner à $\mathrm {M}$ et $\alpha$ des valeurs constantes assez grandes pour que les inégalités précédentes subsistent.

21.Le calcul des inégalités définies dans le numéro précédent repose sur les principes suivants, que je me borne à énoncer sans démonstration, à cause de leur évidence :

i^o Si la série $\psi$ converge, il en sera de même de la série $\varphi$ toutes les fois qu’on aura

$\varphi \ll \psi .$

2^o On peut additionner un nombre quelconque d’inégalités de même sens

$\varphi _{1}\ll \psi _{1},\qquad \varphi _{2}\ll \psi _{2},\qquad \dots ,\qquad \varphi _{n}\ll \psi _{n}.$

3^o Si l’on a un nombre infini d’inégalités de même sens,

$\varphi _{0}\ll \psi _{0},\quad \varphi _{1}\ll \psi _{1},\quad \dots ,\quad \varphi _{n}\ll \psi _{n},\quad \dots \quad \mathrm {ad.} \;\mathrm {inf.} \;(\mathrm {arg.} \;x,y),$

on pourra écrire, en introduisant un argument nouveau,

$\varphi _{0}+\lambda \varphi _{1}+\lambda ^{2}\varphi _{2}+\dots \ll \psi _{0}+\lambda \psi _{1}+\lambda ^{2}\psi _{2}+\dots \quad (\mathrm {arg.} \;x,\,y,\,\lambda ).$

4^o On peut multiplier deux inégalités de même sens.

5^o Si l’on a

$\varphi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\ll \psi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\quad (\mathrm {arg.} \;x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})$

et, d’autre part,

${\begin{array}{l}f_{1}(x,y)\ll \theta _{1}(x,y),\quad f_{2}(x,y)\ll \theta _{2}(x,y),\\\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\f_{n}(x,y)\ll \theta _{n}(x,y)\,\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),\end{array}}$