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CHAPITRE II.
on pourra, dans l’inégalité (1), à la place de
substituer
dans le premier membre
et dans le second
membre
On pourra donc écrire
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi [f_{1}(x,y),\,f_{2}(x,y),\dots ,f_{n}(x,y)]\ll \psi [\theta _{1}(x,y),\,\theta _{2}(x,y),\dots ,\theta _{n}(x,y)]\\(\mathrm {arg.} \;x,y).\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f494b2da9f9349c472233fae4db833d583a6bf)
6o Il est permis de différentier l’inégalité
(1)
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par rapport à l’un des deux arguments
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
7o Il est permis d’intégrer une inégalité ; mais cela peut s’entendre
de deux manières ; on peut d’abord intégrer l’inégalité (1)
par rapport à l’un des deux arguments
et
en prenant 0 comme limite inférieure d’intégration.
On trouve alors
![{\displaystyle \int _{0}^{x}\varphi (x,y)\,dx\ll \int _{0}^{x}\psi (x,y)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59852bdc305ac6b638b8ab674aa86f972c945d5)
Il va sans dire que, dans le calcul des intégrales,
doit momentanément
être regardée comme une constante.
8o Mais il peut arriver également que les fonctions
et
dépendent
non seulement des deux arguments
et
mais d’une autre
variable
sans qu’on la regarde comme développée suivant les
puissances de cette variable.
Supposons que l’inégalité (1) soit vraie pour toutes les valeurs
de
comprises entre
et
on pourra intégrer cette inégalité par
rapport à
en regardant
et
comme des constantes, et écrire
![{\displaystyle \int \varphi (x,y,t)\,dt\ll \int \psi (x,y,t)\,dt\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40909a2a4d855a72c33fda0547e2789d4a203b62)
pourvu, bien entendu, que les limites d’intégration soient comprises
entre
et ![{\displaystyle t_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6f217ae27b7ea7277d5b9f4273cf41c78a5bfa)
22.Considérons une fonction
![{\displaystyle \varphi (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd444fdfabfedeaa979db0f20d606d2f91a59d2)
développée suivant les puissances de
et de
Il arrivera souvent
que
et
dépendront d’un certain paramètre
et qu’on pourra