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CHAPITRE II.

Ces séries, développées suivant les puissances de $\mu ,$ $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ convergent pourvu que

$|\mu |,\quad |t|,\quad |x_{0}|,\quad |y_{0}|,\quad |z_{0}|$

soient assez petits.

Il en sera donc de même des séries (3). C.Q.F.D.

Extension du théorème de Cauchy.

27.Les considérations développées au n^o 26 montrent la possibilité de développer les solutions d’une équation différentielle, suivant les puissances d’un paramètre arbitraire $\mu \,;$ mais seulement pour les valeurs de la variable indépendante $t$ dont le module est assez petit. Nous allons chercher maintenant à nous affranchir de cette restriction.

Considérons les équations suivantes

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t,\mu ).\end{aligned}}$

Je suppose donc de nouveau que la variable $t$ entre explicitement dans les équations.

Soient

$x=\theta (t,\mu ),\qquad y=\omega (t,\mu )$

celle des solutions des équations (1) qui est telle que les valeurs initiales de $x$ et de $y,$ pour $t=0,$ soient nulles.

Je suppose que, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ les deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ puissent se développer suivant les puissances de

$\mu ,\quad x-\theta (t,0),\quad y-\omega (t,0)$

(les coefficients des développements étant des fonctions d’ailleurs quelconques de $t$).

Cette condition peut s’énoncer d’une autre manière : lorsque pour un certain système de valeurs de $x,$ $y,$ $t$ et $\mu ,$ l’une des fonctions $\varphi$ et $\psi$ cesse d’être holomorphe, on dit que ce système de valeurs correspond à un point singulier des équations (1). Par conséquent, nous pouvons énoncer la condition qui précède en disant,