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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

On peut toujours trouver trois nombres réels positifs $\mathrm {M} ,$ $\alpha$ et $\beta ,$ tels qu’en posant

(1)

$\theta '=\varphi '=\psi '={\frac {\mathrm {M} }{(1-\beta \mu )[1-\alpha (x+y+z)]}},$

on ait

$\left.{\begin{aligned}\theta &<\theta '\\\varphi &<\varphi '\\\psi &<\psi '\\\end{aligned}}\right\}(\mathrm {arg.} \;x,y,z,\mu ).$

Envisageons les équations

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta ',\\{\frac {dy}{dt}}&=\varphi ',\\{\frac {dz}{dt}}&=\psi '.\\\end{aligned}}\right.$

qui peuvent aussi s’écrire

(3 bis)

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dt}}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\mathrm {M} }{(1-\beta \mu )[1-\alpha (x+y+z)].}}$

On peut satisfaire à ces équations par des séries analogues aux séries (3), ordonnées comme elles suivant les puissances de $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ et $\mu ,$ et se réduisant comme elles à $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ pour $t=0.$

Les principes du n^o 24 montrent que les séries (3) convergeront toutes les fois que les séries (3 bis) convergeront elles-mêmes.

Or les équations (2 bis) s’intègrent aisément, et l’on trouve que les équations (3 bis), qui en sont les intégrales, peuvent s’écrire

${\begin{aligned}x&=x_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\y&=y_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\z&=z_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right).\\\end{aligned}}$

où nous avons posé, pour abréger,

$\mathrm {S} =1-\alpha (x_{0}+y_{0}+z_{0}),\qquad h={\frac {6\alpha \mathrm {M} }{1-\beta \mu }}\cdot$