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CHAPITRE II.

de zéro, ce même système n’ait plus que des solutions simples. Eh bien, ce qu’il s’agit d’établir, c’est que, si $\mu$ est assez petit, il y a, dans l’intérieur de la courbe $\mathrm {C} ,$ un nombre impair de ces solutions simples.

Dans mon Mémoire Sur les courbes définies par les équations différentielles [IV^e Partie, Chap. XVIII (Journal de Liouville, 4^e série, t. II, p. 177)], j’ai eu l’occasion d’étudier la distribution de points singuliers d’un système d’équations différentielles et de définir pour cela l’indice kroneckérien d’une courbe fermée ou d’une surface fermée par rapport à ce système d’équations différentielles.

Le système que nous aurons à considérer ici est le suivant

(2)

{\frac {dz_{1}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}\right)}}={\frac {dz_{2}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}\right)}}

et, plus généralement,

{\frac {dz_{1}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}\right)}}={\frac {dz_{2}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}\right)}}=\dots ={\frac {dz_{n}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{n}}}\right)}}\cdot

Les points singuliers du système (2) seront les solutions du système (1).

Nous aurons à calculer l’indice kroneckérien de la courbe fermée $\mathrm {C}$ par rapport au système (2). On peut vérifier qu’il est égal à 1 pour $\mu =0,$ et l’on en conclura qu’il sera encore égal à 1 pour les petites valeurs de $\mu ,$ puisqu’il ne peut varier que si une des solutions du système (1) vient à franchir cette courbe $\mathrm {C} .$

Le nombre des points singuliers positifs du système (2), situés à l’intérieur de $\mathrm {C} ,$ est donc égal au nombre des points singuliers négatifs plus un.

Le nombre total des points singuliers, c’est-à-dire le nombre total des solutions du système (1) supposées simples, situées à l’intérieur de $\mathrm {C} ,$ est donc impair. C.Q.F.D.

Ce raisonnement s’applique sans changement au cas où il y a plus de deux variables.