Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/87

75

INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

qui correspond au maximum, de façon que ce maximum ait lieu pour

$z_{1}=z_{2}=0.$

On pourra alors décrire autour de l’origine une courbe fermée $\mathrm {C}$ très petite, et telle qu’en tous ces points on ait

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})<\mathrm {F} (0,0).$

Mais il y a plus : nous pouvons supposer que cette courbe ait pour équation

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})=\mathrm {F} (0,0)-\lambda ^{2},$

$\lambda$ étant une constante très petite, et qu’à l’intérieur de cette courbe fermée $\mathrm {C}$ on ait

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})>\mathrm {F} (0,0)-\lambda ^{2}\,;$

par conséquent, quand on franchira la courbe $\mathrm {C}$ en allant de l’extérieur à l’intérieur, $\mathrm {F}$ ira en augmentant.

Ce qu’il s’agit d’établir, c’est que

$z_{1}=z_{2}=0$

est une solution d’ordre impair du système

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=0\,;$

mais cela revient à dire ce qui suit : soit

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\mu )$

une fonction de $z_{1}$ et de $z_{2}$ qui se réduise à $\mathrm {F} (z_{1},z_{2})$ pour $\mu =0.$

Le système

(1)

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=0$

a, pour $\mu =0,$ une solution multiple qui est

$z_{1}=z_{2}=0\,;$

mais on peut toujours choisir la fonction $\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\mu )$ [qui ne nous est donnée que pour $\mu =0,$ et qui reste arbitraire pour les autres valeurs de $\mu$], de telle façon que, pour les valeurs de $\mu$ différentes