Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/90

78

CHAPTIRE II.

On aura donc a fortiori, quel que soit $t,$

$\varphi \ll {\frac {\displaystyle \mathrm {M} _{0}}{1-\alpha (x+y)}}\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),$

$\mathrm {M_{0}}$ étant la valeur de $\mathrm {M}$ pour $t=0.$

En effet, soit

$\varphi =\sum \mathrm {A} \,x^{m}y^{n}e^{pit}\,;$

il viendra

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-\sum \mathrm {A} \,p^{2}x^{m}y^{n}e^{pit}.$

Cette série devra converger, par hypothèse, pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour les valeurs de $x$ et $y$ qui sont intérieures au cercle de convergence. Supposons, par exemple, que la convergence ait lieu pour

$x=y={\frac {1}{\alpha }}\cdot$

Les termes de la série devront être limités en valeur absolue, de sorte qu’on pourra écrire, en appelant $\mathrm {K}$ une constante positive,

$|\mathrm {A} |<{\frac {\alpha ^{m+n}}{p^{2}}}\mathrm {K} .$

Si nous posons

$\mathrm {M} =\sum {\frac {\mathrm {K} \,e^{pit}}{p^{2}}},$

il viendra

$\varphi \ll {\frac {\mathrm {M} }{(1-\alpha x)(1-\alpha y)}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}\cdot$