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CHAPTIRE II.
On aura donc a fortiori, quel que soit
![{\displaystyle \varphi \ll {\frac {\displaystyle \mathrm {M} _{0}}{1-\alpha (x+y)}}\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26913a27663220f3f324b617f0cba2c645f28d42)
étant la valeur de
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
En effet, soit
![{\displaystyle \varphi =\sum \mathrm {A} \,x^{m}y^{n}e^{pit}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b5b7253772cf3d842ac43654a181c470439352)
il viendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-\sum \mathrm {A} \,p^{2}x^{m}y^{n}e^{pit}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e6428f210feac8e5cc87d9c34ea5eced19efd4)
Cette série devra converger, par hypothèse, pour toutes les valeurs
réelles de
et pour les valeurs de
et
qui sont intérieures
au cercle de convergence. Supposons, par exemple, que la convergence ait lieu pour
![{\displaystyle x=y={\frac {1}{\alpha }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40cf6c24f292dcabe6ee06fd3951becbf057d22)
Les termes de la série devront être limités en valeur absolue, de
sorte qu’on pourra écrire, en appelant
une constante positive,
![{\displaystyle |\mathrm {A} |<{\frac {\alpha ^{m+n}}{p^{2}}}\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ca1643eb1cf535f09a35ac4dfd19bb9b53705a)
Si nous posons
![{\displaystyle \mathrm {M} =\sum {\frac {\mathrm {K} \,e^{pit}}{p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ac47648aaefdda9042d3001fbd0e26c4132f2f)
il viendra
![{\displaystyle \varphi \ll {\frac {\mathrm {M} }{(1-\alpha x)(1-\alpha y)}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1212c0875b68e0130fba4e10818753f2c627a0a5)