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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Si le déterminant fonctionnel ou jacobien des $\psi ,$ par rapport aux $\beta ,$ n’est pas nul pour $\mu =\beta _{i}=0,$ le théorème du n^o 30 nous apprend que l’on peut résoudre ces $n$ équations par rapport aux $\beta$ et que l’on trouve

$\beta _{i}=\theta _{i}(\mu ),$

$\theta _{i}(\mu )$ étant développable suivant les puissances de $\mu$ et s’annulant avec $\mu .$

On doit en conclure que, pour les valeurs de $\mu$ suffisamment petites, les équations différentielles admettent encore une solution périodique.

Cela est vrai si le jacobien des $\psi$ n’est pas nul ou, en d’autres termes, si pour $\mu =0$ les équations (1) admettent le système

$\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0$

comme solution simple.

Qu’arrivera-t-il maintenant si cette solution est multiple ?

Supposons qu’elle soit multiple d’ordre $m.$ Soient $m_{1}$ le nombre des solutions du système (1) pour les petites valeurs positives de $\mu ,$ et $m_{2}$ le nombre des solutions de ce même système pour les petites valeurs négatives de $\mu \,;$ j’entends parler des solutions qui sont telles, que $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ tendent vers 0 avec $\mu .$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 32 et 33, les trois nombres $m,$ $m_{1}$ et $m_{2}$ sont de même parité. Si donc $m$ est impair, on sera assuré qu’il existe encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$ tant positives que négatives.

Si $m_{1}$ n’est pas égal à $m_{2},$ la différence ne peut être qu’un nombre pair ; il peut donc arriver que, quand on fait croître $\mu$ d’une façon continue, un certain nombre de solutions périodiques disparaissent au moment où $\mu$ change de signe (ou plus généralement, puisque rien ne distingue la valeur $\mu =0$ des autres valeurs de $\mu ,$ au moment où $\mu$ passera par une valeur quelconque $\mu _{0}$) ; mais ce nombre doit toujours être pair.

Une solution périodique ne peut donc disparaître qu’après s’être confondue avec une autre solution périodique.

En d’autres termes, les solutions périodiques disparaissent par couples à la façon des racines réelles des équations algébriques.