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CHAPITRE II.
On verrait que la limite
pour
est encore une série
trigonométrique absolument et uniformément convergente.
Ainsi l’effet de la présence d’une racine double dans l’équation
(5) a été d’introduire dans la solution des termes de la forme suivante
étant une série trigonométrique.
On verrait sans peine qu’une racine triple introduirait des
termes de la forme
![{\displaystyle e^{\alpha _{1}t}t^{2}\lambda (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5e317cdfd45afef9da67b9293c367d77d87134)
et ainsi de suite.
Je n’insiste pas sur tous ces points de détail. Ces résultats sont
bien connus par les travaux de MM. Floquet, Callandreau, Bruns,
Slieltjes, et, si j’ai donné ici la démonstration in extenso pour le
cas général, c’est que son extrême simplicité me permettait de le
faire en quelques mots.
Fonctions implicites.
30.Si l’on a
quantités
entre lesquelles ont lieu
relations
(7)
|
|
|
si les
sont développables suivant les puissances des
et des
et
s’annulent avec ces
variables ;
Si enfin le déterminant fonctionnel des
par rapport aux
n’est
pas nul quand les
et les
s’annulent à la fois ;
On pourra tirer des équations (7) les
inconnues
sous la forme
des séries développées suivant les puissances de
Considérons, en effet,
comme la seule variable indépendante,
comme des paramètres arbitraires : nous pourrons
remplacer les équations (7) par les
équations différentielles
![{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dy_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dy_{2}}}{\frac {dy_{2}}{dx_{1}}}+\dots +{\frac {df_{i}}{dy_{n}}}{\frac {dy_{n}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dx_{1}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb440056c396cb91534a25779b70b8af20fc7f4)