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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

dont le premier membre (que j’écrirai, pour abréger, $\mathrm {F} [x_{i},t]$) est fonction périodique de $t$ de période $2\pi .$

Je dis que dans ce cas les équations

(1)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0,$

ne seront pas distinctes en général.

En effet, on aura identiquement

(2)

$\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i};\,0]=\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,2\pi ]=\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,0].$

Considérons donc l’équation

(3)

$\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,0]-\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i};\,0]=0.$

Le premier membre est développable suivant les puissances des $\psi _{i},$ des $\beta _{i}$ et de $\mu \,;$ de plus il s’annule quand les $\psi _{i}$ s’annulent.

Supposons que l’on n’ait pas

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.$

La dérivée du premier membre de (3) par rapport à $\psi _{n}$ ne s’annulera pas pour

$\psi _{i}=0,\quad \beta _{i}=0,\quad \mu =0.$

Donc, en vertu du théorème du n^o 30, nous pourrons tirer de l’équation (3)

$\psi _{n}=\theta (\psi _{1},\,\psi _{2},\,\dots ,\,\psi _{n-1};\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots \beta _{n},\,\,\mu ),$

$\theta$ étant une série développée suivant les puissances de $\psi _{1},$ $\psi 2,$ $\dots ,$ $\psi _{n-1}\,;$ $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\mu$ et s’annulant quand on a à la fois

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0.$

La $n$^ième des équations (1) est donc une conséquence des $n-1$ premières.

Si l’on avait

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\gtrless 0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),$ ce serait la première des équations (1) qui serait une conséquence des $n-1$ dernières.